题目内容
【题目】三棱柱中,
平面
,
是边长为
的等边三角形,
为
边中点,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求证:平面
;
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】
(1)要证平面平面
,只需证明其中一个平面内一条直线垂直于另一个平面即可,易证
平面
;
(2)要证平面
,只需设法在平面
知道一条直线与
平行即可,故连结
交
于
,则
为
的中点,再结合
为
边中点,可得
;
(3)要求三棱锥的体积,只需确定底面和相应的高,而以
为底面的三棱锥
的底面面积和高不易求出,发现可变换为以
为底面,
为高的三棱锥
来求解.
(1)因为平面
,
平面
,所以
,
因为为等边三角形,
为
边中点,所以
,
又,
平面
,
平面
,
所以平面
,又
平面
,
所以平面平面
.
(2)连结交
于
,则
为
的中点,连结
.
在中,
为
的中点,
为
边中点,
所以,又
平面
,
平面
,
所以平面
.
(3) 三棱柱中,
,又
平面
,
所以平面
,所以
为三棱锥
的高,
在等边中,
,
为
边中点,
所以,
,
,
所以,
所以.
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