Question

（本小题满分14分）
已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处
的切线斜率为-1.
（I）求的值及函数的极值；
（II）证明：当时，；
（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.

Answer 1

（I）,极值参考解析;（II）参考解析;（III）参考解析

解析试题分析：（I）由函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处
的切线斜率为-1.所以求函数的导数,即可求出的值.再根据函数的导数地正负,即可得函数的极值.
（II）当时，恒成立,等价转换为函数的最值问题.令,通过求函数的导数求出最值即可得到结论.
（III）对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.由（II）得到函数的单调性当时,即可找到符合题意.当时.通过等价转化,等价于不等式恒成立问题,再对通过估算得到的值.即可得到结论.
试题解析：（I）由，得.又,得.所以.令,得.当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.
（II）令,则.由（I）得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即.
（III）①若,则.又由（II）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.
②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时, 在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.
综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.
考点：1.函数的极值.2.构建新函数证