题目内容

已知函数.
证明:(1)存在唯一,使
(2)存在唯一,使,且对(1)中的.

(1)详见解析;(2)详见解析

解析试题分析:(1)依题意,只需证明函数在区间上存在唯一零点.往往转化为利用导数判断函数单调性、极值点,从而判断函数大致图象,进而说明零点分布情况.本题当时,,故上为增函数,再说明端点函数值异号;(2)与(1)类似,只需证明函数在区间上存在唯一零点.但是不易利用导数判断函数大致图象,考虑到结论中,故需考虑第二问与第一问的关系,利用(1)的结论,设,则,根据第一问中的符号,从而可判断函数的单调性,进而判断函数大致图象,确定函数的零点,寻求函数的零点与零点的关系,从而证明不等式.
证明:(1)当时,,所以上为增函数.又.所以存在唯一,使
(2)当时,化简得.令.记
.则.由(1)得,当时,;当时,.从而在为增函数,由知,当时,,所以上无零点.在为减函数,由知存在唯一,使得.于是存在唯一,使得.设
.因此存在唯一的,使得.由于,所以
考点:1、函数的零点;2、利用导数判断函数单调性;3、利用导数求函数的最值.

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