题目内容

如图，已知曲线C：y＝x2(0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．取线段OQ的中点A1，过A1作x轴的垂线交曲线C于P1，过P1作y轴的垂线交RQ于B1，记a1为矩形A1P1B1Q的面积．分别取线段OA1，P1B1的中点A2，A3，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2 A1与矩形A3P3B3B1的面积之和．以此类推，记an为2n－1个矩形面积之和，从而得数列{an}，设这个数列的前n项和为Sn．

(Ｉ)求a2与an；
(Ⅱ)求Sn，并证明Sn＜．

(Ｉ) ，；（Ⅱ）见解析.

解析试题分析：（Ⅰ）根据题意先写出各点坐标，再分别求，然后总结与曲线交点坐标，从而再求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的表达式，先把变形为差的形式，再求表达式，利用等比数列前项和公式求，然后把与进行比较，即得证.
试题解析：(Ｉ) 由题意知P1(，)，故a1＝×＝．
又P2(，)，P3(，)，
故a2＝×[＋－]＝×(12＋32－22)＝．
由题意，对任意的k＝1，2，3，，n，有
(，)，i＝0，1，2，，2k－1－1，
故an＝×[＋－＋－＋＋－]
＝×[12＋32－22＋52－42＋…＋(2n－1)2－(2n－2)2]
＝×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2n－1－1)＋1]}
＝×
＝．
所以a2＝，an＝，n∈N*．        10分
(Ⅱ)由(Ｉ)知an＝，n∈N*，
故Sn＝－＝－＝．
又对任意的n∈N*，有＞0，
所以Sn＝?＜．               14分
考点：1、递推公式；2、等比数列的前n项和公式.

练习册系列答案
相关题目

已知数列{an}的相邻两项an，an＋1是关于x的方程x2－2nx＋bn＝0的两根，且a1＝1.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)设函数f(n)＝bn－t·Sn(n∈N*)，若f(n)＞0对任意的n∈N*都成立，求t的取值范围．

在数列中，.
（1）求；
（2）设，求证：为等比数列；
（3）求的前项积．

等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．

已知数列，是其前项的和，且满足，对一切都有成立，设．
（1）求；
（2）求证：数列 是等比数列；
（3）求使成立的最小正整数的值．

已知等比数列为递增数列，且，.（Ⅰ）求；
（Ⅱ）令，不等式的解集为，求所有的和.

数列前项和，数列满足（），
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：当时，数列为等比数列；
（3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，若数列中只有最小，求的取值范围.

已知数列满足：①；②对于任意正整数都有成立.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若，求数列的前项和.

已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为1，公比为的等比数列．
（1）若，，求数列的前项和；
（2）若存在正整数，使得．试比较与的大小，并说明理由．

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