Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，

x	﹣1	0	2	4	5
f（x）	1	2	1.5	2	1

下列关于函数f（x）的命题：
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值为2，那么t的最大值为4；
③函数f（x）在[0，2]上是减函数；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．
其中正确命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵由导函数的图象知，f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，2）递减，在（2，4）递增，在（4，5]递减，
结合图象函数的最小值是1，最大值是2，故函数f（x）的值域为[1，2]，①正确；
由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即②错误；
由已知中y=f′（x）的图象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是减函数，即③正确；
当1.5＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点，故当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有2，3，4个零点，最多有4个零点，故④正确；
所以答案是：①③④．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．