题目内容
【题目】已知函数
.
(1)当时,求函数
的极小值;
(2)若函数在
有
个零点,求实数
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若函数在
的三个零点分别为
,求证:
.
【答案】(1)当时,函数
有极小值
.(2)
(3)见解析
【解析】分析:(1)求出导函数,由
确定增区间,由
确定减区间,从而可得极小值;
(2)首先的零点即是
的零点,由二次函数的性质可得结论;
(3)由(1)知,求得导函数
,确定出
的单调性与极值点,再由
有三个零点,得出
的范围,同时由零点存在定理得三个零点各自的范围,从而得证
.
详解: (1)当 时,
,
,
则,解得
,
,解得
或
,
函数
在区间
内单调递增,在区间
和
内单调递减,
当
时,函数
有极小值
.
(2)设
函数
在
上有
个零点等价于函数
在
上有
个零点且
,
要使函数
在
上有
个零点,则
,解得
,
即实数的取值范围是
.
(3)由(Ⅱ)得, ,
.
,
则,解得
,解得
或
,
,
,
则,解得
,解得
或
.
函数
在区间
内单调递增,在区间
和
内单调递减.
若函数在
上的三个零点分别为
,不妨设
则,即
,解得
.
又当时,
;
当时,
;当
时,
;
当时,
,
由函数零点存在性定理可得
,
.
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