Question

【题目】已知函数f（x）=loga（ ﹣mx）在R上为奇函数，a＞1，m＞0． （Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）指出函数f（x）的单调性．（不需要证明）
（Ⅲ）设对任意x∈R，都有f（ cosx+2t+5）+f（ sinx﹣t2）≤0；是否存在a的值，使g（t）=a ﹣2t+1最小值为﹣ ．

Answer 1

【答案】解：（I）f（﹣x）=﹣f（x）可得，loga（ +mx）=﹣loga（ ﹣mx）=loga（ ）， ∴（ +mx）=（ ），即 2x2+1﹣m2x2=1，∴m2=2，m= ．
（II）由（I）知 f（x）=loga（ ﹣ x）=loga（ ），
故函数f（x）在R上是减函数．
（III）又对任意x∈R，都有f（ cosx+2t+5）+f（ sinx﹣t2）≤0，
∴f（ cosx+2t+5）≤﹣f（ sinx﹣t2）=f（t2﹣ sinx），
∴ cosx+2t+5≥t2﹣ sinx，即 t2﹣2t﹣5≤ sinx+ cosx．
由于 sinx+ cosx=2sin（x+ ）≥﹣2，故 t2﹣2t﹣5≤﹣2，解得﹣1≤t≤3．
令n=2t ， 则n∈[ ，8]，令h（n）=g（t）=a ﹣2t+1 =an2﹣2n，二次函数h（n）的对称轴方程为n= ．
∵a＞1，∴0＜ ＜1．
当0＜ ＜ 时，h（n）在[ ，8]上是增函数，h（n）的最小值为h（ ）= ﹣1=﹣ ，求得a= （舍去）．
当 ≤ ＜1时，h（n）的最小值为h（ ）=﹣ =﹣ ，求得a= ，满足条件．
综上可得，a=
【解析】（I）f（﹣x）=﹣f（x）可得（ +mx）=（ ），即 2x2+1﹣m2x2=1，由此求得m的值．（II）由 f（x）=loga（ ﹣ x）=loga（ ），可得函数f（x）在R上是减函数．（III）先由已知条件求得t2﹣2t﹣5≤﹣2，求得﹣1≤t≤3．令n=2t ， h（n）=g（t）=an2﹣2n，二次函数h（n）的对称轴方程为n= ．再根据g（t）最小值为﹣ ，利用二次函数的性质、分类讨论求得a的值．
【考点精析】本题主要考查了复合函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．