题目内容

17.若$\overrightarrow a=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}+\overrightarrow{e_3}$,$\overrightarrow b=\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}-\overrightarrow{e_3}$,$\overrightarrow c=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$,$\overrightarrow d=\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}+3\overrightarrow{e_3}$($\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$为空间的一个基底)且$\overrightarrow{d}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$,则x,y,z分别为(  )
A.$\frac{5}{2}$,-$\frac{1}{2}$,-1B.$\frac{5}{2}$,$\frac{1}{2}$,1C.-$\frac{5}{2}$,$\frac{1}{2}$,1D.$\frac{5}{2}$,-$\frac{1}{2}$,1

分析 直接利用向量的运算法则求解即可.

解答 解:$\overrightarrow a=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}+\overrightarrow{e_3}$,$\overrightarrow b=\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}-\overrightarrow{e_3}$,$\overrightarrow c=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$,$\overrightarrow d=\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}+3\overrightarrow{e_3}$($\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$为空间的一个基底)且$\overrightarrow{d}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$,
可得$\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}+3\overrightarrow{{e}_{3}}$=$x(\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}+\overrightarrow{{e}_{3})+y(\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}-\overrightarrow{{e}_{3}})}$+z$(\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2})}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}1=x+y+z\\ 2=x-y+z\\ 3=x-y\end{array}\right.$,解得:x=$\frac{5}{2}$,y=-$\frac{1}{2}$,z=-1.
故选:A.

点评 本题考查平面向量的基本定理的应用,相等向量的充要条件的应用,考查计算能力.

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