Question

3．已知集合A={x|ax²-（a+a²）x+a²＞0}．
（1）当常数a∈R，求集合A；
（2）在（1）的结论下，若B={x|1＜x＜a²-1}且A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）ax²-（a+a²）x+a²=a[x²-（1+a）x+a]，解x²-（1+a）x+a得：x=1，或x=a；对a值分类讨论，可得不同情况下的集合A；
（2）当A=∅，或B=∅时，满足A∩B=∅；当A≠∅，且B≠∅时，若A∩B=∅，则集合A，B没有公共元素，分灶讨论各种情况下实数a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵ax²-（a+a²）x+a²=a[x²-（1+a）x+a]，
解x²-（1+a）x+a得：x=1，或x=a；
当a＞1时，集合A={x|ax²-（a+a²）x+a²＞0}={x|x＜1，或x＞a}，
当a=1时，集合A={x|ax²-（a+a²）x+a²＞0}={x|x＜1，或x＞1}，
当0＜a＜1时，集合A={x|ax²-（a+a²）x+a²＞0}={x|x＜a，或x＞1}，
当a=0时，集合A=∅，
当a＜0时，集合A={x|ax²-（a+a²）x+a²＞0}={x|a＜x＜1}
（2）当-$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$时，a²-1≤1，此时B=∅，满足A∩B=∅，
当a＜$-\sqrt{2}$时，A={x|a＜x＜1}，满足A∩B=∅，
当a$＞\sqrt{2}$时，集合A={x|x＜1，或x＞a}，
若A∩B=∅，则a≥a²-1，解得：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故$\sqrt{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
综上所述，a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

点评 本题考查的知识点是二次不等式的解法，集合的交集，分类讨论思想，难度中档．