Question

9．设a，b∈R，且a≠-2，若奇函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}$在区间（-b，b）上有定义．
（1）求a的值；
（2）求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义可得f（-x）=-f（x）=恒成立，进而可得a值．
（2）再利用奇函数和对数函数的定义域可得b的取值范围．

解答 解：（1）依题意知：奇函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}$在区间（-b，b）上有定义
∴当x∈（-b，b）时，f（-x）=-f（x）恒成立，
即lg $\frac{1-ax}{1+2x}$=-lg$\frac{1+ax}{1-2x}$恒成立，
即lg $\frac{1-ax}{1+2x}$+lg$\frac{1+ax}{1-2x}$=0恒成立，
即lg（$\frac{1-ax}{1+2x}$•$\frac{1+ax}{1-2x}$）=0恒成立，
即$\frac{1-{a}^{2}{x}^{2}}{1-4{x}^{2}}$=1恒成立，
即a²=4，
∵a≠-2，
∴a=2．
（2）由$\frac{1+2x}{1-2x}$＞0，解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$．
依题意知：（-b，b）⊆（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴0＜b≤$\frac{1}{2}$，
即b∈（0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性、对数函数的运算法则，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．