Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（1）设b_n=a_n+1-a_n，证明：{b_n}是等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+2=2a_n+1-a_n+2变形可知a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，进而可知数列{a_n+1-a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列；
（2）通过（1）可知a_n+1-a_n=2n-1，利用累加法计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+2=2a_n+1-a_n+2，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，
又∵a₂-a₁=2-1=1，
∴数列{a_n+1-a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
即数列{b_n}是等差数列；
（2）解：由（1）可知a_n+1-a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n-a_n-1=2（n-1）-1，
a_n-1-a_n-2=2（n-2）-1，
…
a₂-a₁=2•1-1，
累加得，a_n-a₁=2[1+2+…+（n-1）]-（n-1）
=2•$\frac{n（n-1）}{2}$-n+1
=n²-2n+1，
∴a_n=a₁+n²-2n+1=n²-2n+2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n²-2n+2．

点评 本题考查等差数列的判定及数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．