Question

20．已知（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的二项式系数和等于64．
（1）求n的值及展开式中各项的系数和；
（2）展开式中是否存在二次项？如果存在，请求出该二次项，如果不存在？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据二项式系数和求出n的值，再令x=1求出展开式中各项的系数和；
（2）利用展开式中的通项公式，求出r的值，判断是否符合题意即可．

解答 解：（1）∵（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的二项式系数和等于64，
∴2ⁿ=64，解得n=6；
∴令x=1，得展开式中各项的系数和为（2+1）⁶=3⁶；
（2）${（2x+\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{6}$展开式中，通项为
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（2x）^6-r•${（\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{r}$=${C}_{6}^{r}$•2^6-r•${x}^{6-\frac{3r}{2}}$，
令6-$\frac{3r}{2}$=2，
解得r=$\frac{8}{3}$，不合题意，
所以展开式中不存在x的二次项．

点评 本题考查了二项式定理的灵活应用问题，是基础题目．