题目内容
如图,已知平行四边形ABCD中,BC=2,BD⊥CD,四边形ADEF为正方形,平面ADEF⊥平面ABCD.记CD=x,V(x)表示四棱锥F-ABCD的体积.

(1)求V(x)的表达式.
(2)求V(x)的最大值.

(1)求V(x)的表达式.
(2)求V(x)的最大值.
(1) V(x)=
x
(0<x<2) (2)



【思路点拨】利用体积公式得到V(x)的表达式,然后根据基本不等式或函数的知识求最大值.
解:(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.
∵BD⊥CD,BC=2,CD=x,
∴FA=2,BD=
(0<x<2),
∴S?ABCD=CD·BD=x
,
∴V(x)=
S?ABCD·FA=
x
(0<x<2).
(2)方法一:要使V(x)取得最大值,只需x
=
(0<x<2)取得最大值,
∵x2(4-x2)≤(
)2=4,
∴V(x)≤
×2=
.
当且仅当x2=4-x2,即x=
时等号成立.
故V(x)的最大值为
.
方法二:V(x)=
x
=
=
.
∵0<x<2,∴0<x2<4,∴当x2=2,即x=
时,V(x)取得最大值,且V(x)max=
.
解:(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.
∵BD⊥CD,BC=2,CD=x,
∴FA=2,BD=

∴S?ABCD=CD·BD=x

∴V(x)=



(2)方法一:要使V(x)取得最大值,只需x


∵x2(4-x2)≤(

∴V(x)≤


当且仅当x2=4-x2,即x=

故V(x)的最大值为

方法二:V(x)=



=

∵0<x<2,∴0<x2<4,∴当x2=2,即x=



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