题目内容
【题目】在的方格表中取出46个方格染成红色.证明:存在一块由4个方格构成的
区域,其中由至少3个方格被染成红色.
【答案】见解析
【解析】
首先,考察的方格表.
如图,设第一行有个方格被染成红色,第2行有
个方格被染成红色.
下面证明:若,则必存在一块由4个方格构成的
区域,其中有至少3个方格被染成红色,若
,则只有唯一的情形(如图)能够使得不存在由4个方格构成的
区域,其中至少3个方格被染成红色.
将方格表从左向右分成4个
方格和一个
区域.若不存在至少3个方格被染成红色的
区域.则前4个
方格中每个中至多有两个方格被染成红色,于是,总的红色方格数不超过
,矛盾.
故当时,结论成立.
当时,必存在某一列的
和
同时被染成红色.为保证不存在
区域中至少3个方格不被染成红色,则要求
和
、
和
不被染成红色,显然,只有图中的情形满足.
再回到本题.
假设存在某种染色方案使得方格表中不存在有至少3个方格被染成红色的
区域.
若该方案中存在相邻的两行(第行和第
行)满足
,则必有
.若
为奇数,则沿第
行将方格表分成上、下两部分,上面有偶数行,下面也有偶数行,由前面的结论知,剩下的8行中至多有
个方格被染成红色.于是,总的红色方格数不超过
.若
为偶数,则沿第
行划分,有相同的结论.
若任意相邻两行的红色方格数之和均不等于10,则
.
因此,无论如何染色,要使方格表中不存在有至少3个方格被染成红色的
区域,最多只能有45个方格被染成红色,与题设矛盾.
综上所述,必存在一块由4个方格构成的区域,其中有至少3个方格被染成红色.
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