题目内容

7.设函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上是偶函数,当x∈[-1,0)时,f(x)=x3-ax(a∈R).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若a∈(0,1]时,f(a)=0,求a的值;
(3)是否存在实数a使得x∈(0,1]时,f(x)的最大值为1?

分析 (1)利用函数的奇偶性,求f(x)的解析式;
(2)根据当x∈(0,1]时的函数解析式,解方程f(a)=0,即可求a的值;
(3)求函数的导数,利用导数研究使得当x∈(0,1]时,f(x)有最大值1成立的条件,即可求解a.

解答 解:(1)若x∈(0,1],则-x∈[-1,0),
当x∈[-1,0)时,f(x)=x3-ax
∴f(-x)=-x3+ax,
∵f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的偶函数,
∴f(-x)=-x3+ax=f(x),
即f(x)=-x3+ax,x∈(0,1],
∴$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^3}-ax,x∈[{-1,0})\\-{x^3}+ax,x∈({0,1}]\end{array}\right.$;    
(2)∵当x∈(0,1]时,f(x)=-x3+ax,
∴若a∈(0,1],则由f(a)=-a3+a2=0,
得a2(1-a)=0,解得a=1.
(3)当x∈(0,1]时,f(x)=-x3+ax,
∴f'(x)=-3x2+a,
∵0<x2≤1,∴-3≤-3x2<0,
当a>3时,f(x)在(0,1]上递增,
∴f(x)的最大值为f(1)=a-1=1,
即a=2,不合题意.
当0≤a≤3时,f'(x)=-3x2+a,令f'(x)=0,解得x=$\sqrt{\frac{a}{3}}$,
列表如下:

 (0,$\sqrt{\frac{a}{3}}$)
 
 $\sqrt{\frac{a}{3}}$
 
 ($\sqrt{\frac{a}{3}}$,1)
 
 
 f'(x)
+ 0-
 
 f(x)
 递增 最大值 递减
∴f(x)在x=$\sqrt{\frac{a}{3}}$处取得最大值-($\sqrt{\frac{a}{3}}$)${\;}^{3}+a•\sqrt{\frac{a}{3}}=1$,解得a=$\root{3}{\frac{27}{4}}<3$.
当a<0,f'(x)=-3x2+a<0,f(x)在(0,1]上递减,故f(x)无最大值,不合题意.
综上所述,存在实数$a=\root{3}{{\frac{27}{4}}}$,使得当x∈(0,1]时,f(x)有最大值1.

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用,以及利用导数研究函数的最值,要求熟练掌握导数在研究函数中的应用.

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