Question

16．设f（x）=x（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$），则不等式f（x+1）＞f（2x-1）的解集为（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （0，2）
• C． （2，+∞）
• D． （-∞，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 分析出函数f（x）=x（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$）的单调性和奇偶性，然后借助于f（x）=f（|x|），把不等式f（x+1）＞f（2x-1）转化为f（|x+1|）＞f（|2x-1|），再利用单调性得到关于x的二次不等式求得不等式f（x+1）＞f（2x-1）的解集．

解答 解：由f（x）=x（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$），得
当x＞0时，y₁=x＞0为增函数，${y}_{2}={e}^{x}-\frac{1}{{e}^{x}}＞0$为增函数，
∴当x＞0时，f（x）=x（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$）为增函数．
又f（-x）=-x（${e}^{-x}-\frac{1}{{e}^{-x}}$）=-x（$\frac{1}{{e}^{x}}-{e}^{x}$）=x（${e}^{x}-\frac{1}{{e}^{x}}$）=f（x），
∴f（x）=x（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$）为偶函数．
则f（x+1）＞f（2x-1）?f（|x+1|）＞f（|2x-1|）?|x+1|＞|2x-1|，
?（x+1）²＞（2x-1）²，解得：0＜x＜2．
∴不等式f（x+1）＞f（2x-1）的解集为（0，2）．
故选：B．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．