Question

17．已知点M（2，3），点P在y轴上运动，点Q在圆C：（x-1）²+（y+2）²=4上运动，则|$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$|的最小值为3．

Answer 1

分析 利用圆的参数方程，结合向量的运算，可得|$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$|²=（2cosθ-5）²+（2sinθ-6+a）²，几何意义是A（2cosθ-5，2sinθ-6），与B（0，-a）之间距离的平方，即可得出结论．

解答 解：根据圆的参数方程，设Q（1+2cosθ，-2+2sinθ），P（0，a），
∵M（3，2），∴$\overrightarrow{MP}$=（-3，a-2），$\overrightarrow{MQ}$=（2cosθ-2，2sinθ-4），
∴$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$=（2cosθ-5，2sinθ-6+a），
∴|$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$|²=（2cosθ-5）²+（2sinθ-6+a）²，
几何意义是A（2cosθ-5，2sinθ-6），与B（0，-a）之间距离的平方，
显然，动点A在圆（x+5）²+（y+6）²=4上，动点B在y轴上，
∴当A（-3，-6），B（0，-6）时，B到A的距离取得最小值3，此时a=6，θ=0，
∴|$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$|的最小值为3．

点评 本题考查圆的方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用圆的参数方程是关键．