Question

12．已知f（x）=ax³-3ax+4在[0，2]上的最大值比最小值大2，求a的值．

Answer 1

分析 求出函数的导数，对a讨论，a=0，a＞0，a＜0，求得[0，2]的单调区间，求得最小值和最大值，由题意可得a的方程，解方程即可得到a的值．

解答 解：f（x）=ax³-3ax+4的导数为f′（x）=3ax²-3a=3a（x-1）（x+1），
当a=0时，函数为常函数，不成立；
当a＞0时，f（x）在[0，1）递减，在（1，2]递增，
即有f（1）取得最小值，且为4-2a，
f（0）=4，f（2）=4+2a＞4，
即有f（2）为最大值，
由题意可得4+2a-（4-2a）=2，解得a=$\frac{1}{2}$；
当a＜0时，f（x）在[0，1）递增，在（1，2]递减，
即有f（1）取得最大值，且为4-2a，
f（0）=4，f（2）=4+2a＜4，
即有f（2）为最小值，
由题意可得4-2a-（4+2a）=2，解得a=-$\frac{1}{2}$．
综上可得a=±$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．