Question

【题目】已知函数f（x）= x3﹣ （a∈R）．
（1）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）若对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）= ﹣x+ ，f′（x）=x2﹣1，

令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=1，

列表：

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	﹣1	﹣	0	+	3
f（x）		↘	﹣	↗

∴当x∈[0，2]时，f（x）最大值为f（2）= ．

（2）解：f′（x）=x2﹣a2=（x﹣a）（x+a），

令f′（x）=0，得x1=﹣a，x2=a，

①若a＜0，在（0，﹣a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（﹣a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

所以，f（x）在x=﹣a时取得最小值f（﹣a）=﹣ =a（ ），

因为a＜0， ＞0，所以f（﹣a）=a（ ）＜0．

所以当a＜0时，对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0不成立；

②若a=0，f′（x）=x2≥0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，

所以当a=0时，有f（x）＞f（0）=0；

③若a＞0，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

所以，f（x）在x=a时取得最小值f（a）= =﹣a（ ），

令f（a）=﹣a（ ）＞0，由a＞0，得 ＜0，0＜a＜ ，

所以当0＜a＜ 时，对任意x＞0，f（x）＞0都成立．

综上，a的取值范围是[0， ]

【解析】（1）a=1时写出f（x），求出f′（x），解方程f′（x）=0，列出当x变化时f′（x）、f（x）的变化表，由表格可得函数在[0，2]上的最大值；（2）对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，等价于f（x）min＞0，分a＜0，a=0，a＞0三种情况进行讨论，利用导数即可求得f（x）在（0，+∞）上的最小值，然后解不等式f（x）min＞0可得a的范围；
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．