题目内容
【题目】已知函数f(x)= x3﹣
(a∈R).
(1)若a=1,求函数f(x)在[0,2]上的最大值;
(2)若对任意x∈(0,+∞),有f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:当a=1时,f(x)= ﹣x+
,f′(x)=x2﹣1,
令f′(x)=0,得x1=﹣1,x2=1,
列表:
x | 0 | (0,1) | 1 | (1,2) | 2 |
f′(x) | ﹣1 | ﹣ | 0 | + | 3 |
f(x) | ↘ | ﹣ | ↗ |
∴当x∈[0,2]时,f(x)最大值为f(2)= .
(2)解:f′(x)=x2﹣a2=(x﹣a)(x+a),
令f′(x)=0,得x1=﹣a,x2=a,
①若a<0,在(0,﹣a)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,在(﹣a,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以,f(x)在x=﹣a时取得最小值f(﹣a)=﹣ =a(
),
因为a<0, >0,所以f(﹣a)=a(
)<0.
所以当a<0时,对任意x∈(0,+∞),f(x)>0不成立;
②若a=0,f′(x)=x2≥0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,
所以当a=0时,有f(x)>f(0)=0;
③若a>0,在(0,a)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,在(a,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以,f(x)在x=a时取得最小值f(a)= =﹣a(
),
令f(a)=﹣a( )>0,由a>0,得
<0,0<a<
,
所以当0<a< 时,对任意x>0,f(x)>0都成立.
综上,a的取值范围是[0, ]
【解析】(1)a=1时写出f(x),求出f′(x),解方程f′(x)=0,列出当x变化时f′(x)、f(x)的变化表,由表格可得函数在[0,2]上的最大值;(2)对任意x∈(0,+∞),有f(x)>0恒成立,等价于f(x)min>0,分a<0,a=0,a>0三种情况进行讨论,利用导数即可求得f(x)在(0,+∞)上的最小值,然后解不等式f(x)min>0可得a的范围;
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识,掌握求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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