题目内容
【题目】如图,已知椭圆C: ,点A,B分别是左、右顶点,过右焦点F的直线MN(异于x轴)交于椭圆C于M、N两点.
(1)若椭圆C过点,且右准线方程为
,求椭圆C的方程;
(2)若直线BN的斜率是直线AM斜率的2倍,求椭圆C的离心率.
【答案】(1) 或
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)根据曲线上的点和右准线方程写出椭圆方程;(2)设,
,则
,
,
;因为点
在椭圆
上,所以
,所以
,联立方程消元,根据韦达定理可得
,又
,进而求得离心率.
试题解析:(1)因为椭圆过点
,所以
,
又已知右准线方程为,所以
,
,
可解得,
;或
,
;
所以椭圆的方程为
或
.
(2)设,
,则
,
,
;
因为点在椭圆
上,所以
,
所以,
设直线:
,与椭圆
:
联立方程组消去
得
,
,
将,
代入上式化简得
,又
;所以
,
得,即
,解得
或
,
又,所以
,即椭圆
的离心率为
.
点睛:本题考查直线与抛物线的位置关系的问题,其中过焦点的最短弦长为通径. 直线与圆锥曲线的位置关系从几何角度看:当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线也只有一个交点.从代数角度看:设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到.若
=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线L与双曲线的渐进线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线L与抛物线的对称轴平行或重合.若
,设
.
时,直线和圆锥曲线相交于不同两点,相交.
时,直线和圆锥曲线相切于一点,相切.
时,直线和圆锥曲线没有公共点,相离.
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