Question

【题目】在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切（），且动圆与轴相切.求

（1）动圆的圆心轨迹方程；

（2）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求和的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）由可得.

由以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方.

设动圆圆心坐标为，则有.

整理得到动圆圆心轨迹方程为.

另解：由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点、为准线、顶点在（不包含该点）的抛物线.于是，轨迹方程为，即.

（2）联立方程组

消去得.

由，得 ③

由式③可知，从而，.

令，代入式③可得.则，从而，.

再令，代入上式得.

同理，.

令，代入式③可得 ④

对式④进行配方，得.

对上式进行奇偶分析，可知均为偶数，

所以，为8的倍数.故.

令，则.从而，.

所以，.

仅当时，为完全平方数.

于是，解得