题目内容
【题目】已知圆,点
,点
是圆
上的一个动点,点
分别在线段
上,且满足
,
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)过点作斜率为
的直线
与点
的轨迹相交于
两点,在
轴上是否存在点
,使得以
为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出
的取值范围;如果不存在,说明理由.
【答案】(1).(2)存在,取值范围是
【解析】
(1)由知
为线段
的中点, 由
知
, 故点
为线段
的垂直平分线上的一点,从而可得点
的轨迹是以
为焦点,长轴长为4的椭圆,由此可得其轨迹方程;
(2)点是椭圆的右焦点,设直线
.与椭圆方程联立消去
得一元二次方程,设
,则
,假设存在满足题意的点
,则由对角线垂直即
可把
表示为
的函数,结合不等式性质可得结论.
(1)由知
为线段
的中点, 由
知
, 故点
为线段
的垂直平分线上的一点,从而
,则有
,
∴点的轨迹是以
为焦点,长轴长为4的椭圆, ∵
∴
,∴点
的轨迹方程是
.
(2)由(1)知点是椭圆的右焦点,设直线
.
由,消去
并整理,得到
.
设,则
,从而
假设存在满足题意的点,则
,
∵菱形的对角线互相垂直, ∴,
即
又 ∴
即
由,且
,
,
故存在满足题意的点,且
的取值范围是
.
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