题目内容
【题目】已知椭圆的离心率
,椭圆上的点到左焦点
的距离的最大值为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线与椭圆
交于
、
两点.在
轴上是否存在点
,使得
且
,若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)椭圆上的点到左焦点的距离最大值为a+c,再结合离心率可得a和c的值,再由
可得椭圆方程;(2)将直线方程代入椭圆方程,利用弦长公式求得丨MN丨,由
,P在线段MN的中垂线上,利用韦达定理求出
中点D的坐标,写出直线PD的方程,令x=0得
,平方后即可求得m范围;
(1)由题设条件可得,
,
解得,
,所以,
,
椭圆的标准方程为:
(2)设,
,
则整理得:
,
则,
则,
,
假设存在点满足题意,
,
则,
化简整理得,
此时判别式
恒成立,
所以且
,
设中点
,则
,
,
由,则
在线段
的中垂线上.
因为,直线
的方程为:
,
令,则
∴
∴
∵,∴
,∴
∴
∴或
.
即:.
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