题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点
为棱
的一点.
（Ⅰ）若点为棱的中点，证明：
；
（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
【解析】
（1）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥DC;（2）求出平面EAB的法向量，平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角E-AB-P的余弦值．
（Ⅰ）因为
底面
，
底面，
底面，
所以：
，
，又
，
所以：
，
，
两两互相垂直，
以点
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
可得
，
，
，
，
因为点
为棱
的中点，得
，
故
，
，
，
所以
；
（Ⅱ）
，
，
，
，
不妨设
，
，
故
由
，得
，
解得
，
即
，
设
为平面
的法向量，
则
，即
，
不妨令
，可得
为平面的一个法向量，
易知平面
的一个法向量
，
则
，
二面角
是锐角，所以余弦值为.
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