Question

【题目】如图，已知椭圆＝1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）＝1

【解析】(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.

(2)由题知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，

其中，c＝，设B(x，y)．

由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，

解得x＝，y＝－，即B.

将B点坐标代入＝1，得＝1，即＝1，解得a2＝3c2.①

又由·＝(－c，－b)·，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②

由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.

所以椭圆方程为＝1.