题目内容
【题目】如图所示,在四棱锥中,底面
是矩形,
平面
,
.过
的中点
作
于点
,连接
,
.
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)若平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
,求
的长.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)1
【解析】
(1)先证明,接着证明
平面
,
.然后运用线面垂直的判定定理求出结果
(2)分别以,
,
所在直线为
,
,
轴,建立空间直角坐标系,求出法向量,由公式计算出结果
(Ⅰ)∵平面
,
平面
,
∴平面平面
.
∵四边形是矩形,∴
.
又∵平面平面
,
∴平面
,∴
.
∵,
为
的中点,∴
.
又∵,∴
平面
.
(Ⅱ)设,如图,以点
为坐标原点,
分别以,
,
所在直线为
,
,
轴,建立空间直角坐标系.
则,
,
.
由(Ⅰ)知平面
,∴
.
又∵,
,∴
平面
.
∴是平面
的一个法向量,
易知是平面
的一个法向量.
∴
.
解得,
即的长为1.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某教育培训中心共有25名教师,他们全部在校外住宿.为完全起见,学校派专车接送教师们上下班.这个接送任务承包给了司机王师傅,正常情况下王师傅用34座的大客车接送教师.由于每次乘车人数不尽相同,为了解教师们的乘车情况,王师傅连续记录了100次的乘车人数,统计结果如下:
乘车人数 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
频数 | 2 | 4 | 4 | 10 | 16 | 20 | 16 | 12 | 8 | 6 | 2 |
以这100次记录的各乘车人数的频率作为各乘车人数的概率.
(Ⅰ)若随机抽查两次教师们的乘车情况,求这两次中至少有一次乘车人数超过18的概率;
(Ⅱ)有一次,王师傅的大客车出现了故障,于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车的教师.可供选择的小客车只有20座的型车和22座的
型车两种,
型车一次租金为80元,
型车一次租金为90元.若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数,王师傅还要付给多出的人每人20元钱供他们乘出租车.以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据,判断王师傅租哪种车较合算?