题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面,底面为直角梯形,,∥,,,,,分别为线段,,的中点.
(1)证明:平面∥平面.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)连接,设与相交于点,利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理即可证明;
(2)由线面垂直的性质可得,,故、 、两两互相垂直,
以为原点,所在的直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,设平面的法向量为,利用空间向量法,则空间向量所成角的余弦值的绝对值即为所求.
(1)证明:连接,设与相交于点,如图,
因为∥,且,,
所以四边形为矩形,
所以为的中点,又因为为的中点,
所以为的中位线,即,
因为平面, 平面,
所以平面,
因为,分别为线段,的中点,所以,
因为平面,平面,
所以平面,
因为平面,平面,,
所以平面∥平面.
(2)因为底面,平面,平面,
所以,因为,
所以、 、两两互相垂直,
以为原点,所在的直线为轴,轴,轴,
建立空间直角坐标系,如图所示:
则,,,,
所以,
设平面的法向量为,则
,所以,
令,可得,所以,
设直线与平面所成角为,则
,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【题目】为利于分层教学,某学校根据学生的情况分成了,,三类,经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩,其统计表如下:
类
第次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
分数(小于等于)150 | 145 | 83 | 95 | 72 | 110 |
,;
类
第次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
分数(小于等于)150 | 85 | 93 | 90 | 76 | 101 |
,;
类
第次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
分数(小于等于)150 | 85 | 92 | 101 | 100 | 112 |
,;
(1)经计算已知,的相关系数分别为,,请计算出学生的的相关系数,并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定;(结果保留三位有效数字,越大认为成绩越稳定);
(2)利用(1)中成绩最稳定的学生的样本数据,已知线性回归方程为,利用线性回归方程预测该生第九次的成绩.
参考公式:(1)样本的相关系数;
(2)对于一组数据,,…,,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.