题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,底面
为直角梯形,
,
∥
,
,
,
,
,
分别为线段
,
,
的中点.
(1)证明:平面∥平面
.
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)连接,设
与
相交于点
,利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理即可证明;
(2)由线面垂直的性质可得,,故
、
、
两两互相垂直,
以为原点,
所在的直线为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系,设平面
的法向量为
,利用空间向量法,则空间向量
所成角的余弦值的绝对值即为所求.
(1)证明:连接,设
与
相交于点
,如图,
因为∥
,且
,
,
所以四边形为矩形,
所以为
的中点,又因为
为
的中点,
所以为
的中位线,即
,
因为平面
,
平面
,
所以平面
,
因为,
分别为线段
,
的中点,所以
,
因为平面
,
平面
,
所以平面
,
因为平面
,
平面
,
,
所以平面∥平面
.
(2)因为底面
,
平面
,
平面
,
所以,因为
,
所以、
、
两两互相垂直,
以为原点,
所在的直线为
轴,
轴,
轴,
建立空间直角坐标系,如图所示:
则,
,
,
,
所以,
设平面的法向量为
,则
,所以
,
令,可得
,所以
,
设直线与平面
所成角为
,则
,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为利于分层教学,某学校根据学生的情况分成了,
,
三类,经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩,其统计表如下:
类
第 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
分数 | 145 | 83 | 95 | 72 | 110 |
,
;
类
第 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
分数 | 85 | 93 | 90 | 76 | 101 |
,
;
类
第 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
分数 | 85 | 92 | 101 | 100 | 112 |
,
;
(1)经计算已知,
的相关系数分别为
,
,请计算出
学生的
的相关系数,并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定;(结果保留三位有效数字,
越大认为成绩越稳定);
(2)利用(1)中成绩最稳定的学生的样本数据,已知线性回归方程为,利用线性回归方程预测该生第九次的成绩.
参考公式:(1)样本的相关系数
;
(2)对于一组数据,
,…,
,其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.