题目内容
【题目】将棋盘的每个方格都随意染黑白两色之一,每次操作是将其中同行、同列、同对角线的连续五个方格改变成相反的颜色.试问:能否经过有限次操作,使得所有方格的颜色都变成与原先相反的颜色?
【答案】见解析
【解析】
当时,目标可以实现;当
时,目标不可以实现.
(1)如果,可由5是质数,不妨设
,则
棋盘可划分为若干个
的矩形,对每一个
的矩形操作一次即可.
(2)如果,可设
,
(
、
).
将棋盘的方格用1、2、3、4、5编号,使每一行每一列的数都构成周期为5的周期数列,其左上角
棋盘的编号如图.
因为图中每行、每列的数都是以5为周期的周期数列,所以,同行、同列、同对角线的连续5个数都恰好包含1、2、3、4、5各1个.故每次操作都使每一类编号的方格中恰有一个方格改变了一次颜色.
用表示编号为
的方格颜色改变的次数和(
),则每次操作,各
同时增加1,于是,操作中恒有
.
若所有方格的颜色都变成与原先颜色相反,则每个方格颜色改变的次数为奇数.
考察棋盘左上角子棋盘的编号,对任何
、
(
、
),在
子棋盘中一定存在一个编号
与一个编号
(
、
),使得
出现的次数比
出现的次数多一次(逐一验证
子棋盘即可).
去掉此子棋盘,则
棋盘的剩余部分各编号出现的次数相等.于是,整个
棋盘中编号
、
的个数一个为奇数、一个为偶数.由于每个方格都改变奇数次颜色,从而,
、
一个为奇数个奇数的和、一个为偶数个奇数的和,也即
、
一为奇数、一为偶数.于是,
,矛盾.
故不可能所有方格的颜色都变成与原先相反的颜色.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目