题目内容
【题目】为建设美丽乡村,政府欲将一块长12百米,宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园,园区内有一景观湖EFG(图中阴影部分).以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy(如图所示).景观湖的边界曲线符合函数模型.园区服务中心P在x轴正半轴上,PO=
百米.
(1)若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM,求OM的最短长度;
(2)若在线段DE上设置一园区出口Q,试确定Q的位置,使通道直线段PQ最短.
【答案】(1) 的最小值为
百米.
(2) 当点在线段
上且距离
轴
百米,通道PQ最短.
【解析】
(1)设,
,求出
,再利用基本不等式求OM的最短长度.(2) 当直线
与边界曲线相切时,
最短.设切点为
,求出切点为
,切线方程为
,令
,得
,即点
在线段
上且距离
轴
百米.
(1)设,
,
则
,
当且仅当,即
时取等号.
所以的最小值为
百米.
(2)当直线与边界曲线相切时,
最短.
设切点为,由
得
,
所以切线的方程为.
因为在
轴正半轴上,且PO=
,所以
点坐标为
.
因为切线过点,所以
,
整理得,解得
,或
.
因为,所以
,此时切点为
,切线方程为
.
令,得
,即点
在线段
上且距离
轴
百米.
答:当点在线段
上且距离
轴
百米,通道PQ最短.
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