Question

【题目】是否存在常数a，b，c，使等式N+都成立，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

令n=1得①， 令n=2得②，

令n=3得③， 解①、②、③得a=3，b=11，c=10，记原式的左边为Sn，用数学归纳法证明猜想下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．

（1）当n＝1时，由上述知，（*）成立．

（2）假设n＝k（k≥1）时，（*）成立，

即122+232+…+k（k+1）2

（3k2+11k+10），

那么当n＝k+1时，

122+232+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2

（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2

（3k2+5k+12k+24）

[3（k+1）2+11（k+1）+10]，

由此可知，当n＝k+1时，（*）式也成立．

综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时题设的等式对于一切正整数n都成立．