Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sinAsinB=2sin²A+2sin²B+cos2C-1．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a-2b=1，且△ABC的面积为$\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$，求边a的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用二倍角的余弦公式和正弦定理和余弦定理，化简计算即可得到角C的大小；
（Ⅱ）运用三角形的面积公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC，结合条件，解方程即可得到a．

解答 解：（Ⅰ）∵cos2C-1=-2sin²C，
∴2sinAsinB=2sin²A+2sin²B-2sin²C，
由正弦定理得，2ab=2a²+2b²-2c²，
即ab=a²+b²-c²
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，∴$C=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵△ABC的面积为$\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC，
∴$\frac{1}{2}absin{60°}=\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$即ab=10，
∵a-2b=1
∴a=5．

点评 本题考查三角形的正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．