Question

8．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点 P为正方形A₁B₁C₁D₁的中心．
下列说法正确的是①②③④（写出你认为正确的所有命题的序号）．
 ①直线AP与平面ABB₁A₁所成角的正切值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
②若M，N分别是正方形CDD₁C₁，BCC₁B₁的中心，则AP⊥MN；
③若M，N分别是正方形CDD₁C₁，BCC₁B₁的中心，则V_A-PMN=V_N-ACD；
④平面BCC₁B₁中不存在使$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MP}$=0成立的M点．

Answer 1

分析 如图所示，不妨取AB=2．
①取A₁B₁的中点E，连接EP，AE．由正方体的性质可得：EP⊥平面ABB₁A₁．则∠EAP是直线AP与平面ABB₁A₁所成角，利用直角三角形的边角关系即可得出；
②建立如图所示的空间直角坐标系，计算$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{MN}$即可判断出正误；
③V_N-ACD=$\frac{1}{3}×{S}_{ACD}•{h}_{N}$，由于△MNP是等边三角形，边长为$\sqrt{2}$，点A到平面MNP的距离h_A=$\frac{2}{3}•A{C}_{1}$，可得V_A-MNP，即可判断出正误；
④设M（2，2，z）为平面BCC₁B₁中的任意一点，则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MP}$=（z-1）²+1≥1＞0，即可判断出正误．

解答 解：如图所示，不妨取AB=2．
①取A₁B₁的中点E，连接EP，AE．由正方体的性质可得：EP⊥平面ABB₁A₁．
则∠EAP是直线AP与平面ABB₁A₁所成角，其正切值=$\frac{EP}{AE}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，正确；
②建立如图所示的空间直角坐标系，A（2，0，0），P（1，1，2），M（0，1，1），N（1，2，1），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-1，1，2），$\overrightarrow{MN}$=（1，1，0），
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{MN}$=-1+1+0=0，∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{MN}$，即AP⊥MN，正确；
③V_N-ACD=$\frac{1}{3}×{S}_{ACD}•{h}_{N}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×1$=$\frac{2}{3}$，由于△MNP是等边三角形，边长为$\sqrt{2}$，点A到平面MNP的距离h_A=$\frac{2}{3}•A{C}_{1}$=$\frac{2}{3}×2\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∴V_A-MNP=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{2}）^{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2}{3}$，∴V_A-PMN=V_N-ACD；
④设M（2，2，z）为平面BCC₁B₁中的任意一点，则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MP}$=（0，-2，-z）•（-1，-1，2-z）=2-z（2-z）=（z-1）²+1≥1＞0，因此平面BCC₁B₁中不存在使$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MP}$=0成立的M点，正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了正方体的性质、线面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、数量积运算与向量垂直的关系、简易逻辑的判定方法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．