Question

【题目】已知函数f（x）=log （ ）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．
（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；
（2）若不等式f（x）＞（ ）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=log （ ）满足f（﹣2）=1，

∴log （ ）=1，

∴ = ，

解得：a=﹣1，

∴f（x）=log （ ）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称；

又∵f（﹣x）=log （ ）=log （ ）=﹣log （ ）=﹣f（x），

故函数f（x）为奇函数

（2）解：若不等式f（x）＞（ ）x+t在x∈[2，3]上恒成立，

则t＜log （ ）﹣（ ）x在x∈[2，3]上恒成立，

设g（x）=log （ ）﹣（ ）x，

则g（x）在[2，3]上是增函数．

∴g（x）＞t对x∈[2，3]恒成立，

∴t＜g（2）=﹣

【解析】（1）根据f（﹣2）=1，构造方程，可得a的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（ ）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log （ ）﹣（ ）x在x∈[2，3]上恒成立，构造函数求出最值，可得答案．