题目内容
【题目】已知函数, .
(Ⅰ)证明: ,直线都不是曲线的切线;
(Ⅱ)若,使成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)设出切点,分别用函数的导数值和直线的两点表示斜率,得方程,发现方程的解为,与定义域矛盾;
(Ⅱ)原问题转化为,令, , 则,使成立,讨论函数的最小值即可.
试题解析:
(Ⅰ)的定义域为, ,直线过定点,
若直线与曲线相切于点(且),则 ,即
,①
设, ,则,所以在上单调递增,又,从而当且仅当时,①成立,这与矛盾.
所以, ,直线都不是曲线的切线;
(Ⅱ)即,令, ,
则,使成立,
,
(1)当时, , 在上为减函数,于是 ,
由得,满足,所以符合题意;
(2)当时,由及的单调性知 在上为增函数,所以,即,
①若,即,则,所以在上为增函数,于是
,不合题意;
②若,即则由, 及的单调性知存在唯一,使,且当时, , 为减函数;当时, , 为增函数;
所以 ,由得 ,这与矛盾,不合题意.
综上可知, 的取值范围是.
练习册系列答案
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2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
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,,相关系数公式为:.
参考数据:
,,,.