题目内容

【题目】已知函数 .

(Ⅰ)证明: ,直线都不是曲线的切线;

(Ⅱ)若,使成立,求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).

【解析】试题分析:(Ⅰ)设出切点,分别用函数的导数值和直线的两点表示斜率,得方程,发现方程的解为,与定义域矛盾;

(Ⅱ)原问题转化为,令 , 则,使成立,讨论函数的最小值即可.

试题解析:

(Ⅰ)的定义域为 ,直线过定点

若直线与曲线相切于点),则 ,即

,①

,则,所以上单调递增,又,从而当且仅当时,①成立,这与矛盾.

所以, ,直线都不是曲线的切线;

(Ⅱ),令

,使成立

(1)当时, 上为减函数,于是

,满足,所以符合题意;

(2)当时,由的单调性知 上为增函数,所以,即

①若,即,则,所以上为增函数,于是

,不合题意;

②若,即则由 的单调性知存在唯一,使,且当时, 为减函数;当时, 为增函数;

所以 ,由 ,这与矛盾,不合题意.

综上可知, 的取值范围是.

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