题目内容

【题目】已知椭圆C ab>0)的焦距为,且椭圆C过点A1 ),

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)若O是坐标原点,不经过原点的直线L:y=kx+m与椭圆交于两不同点P(x1,y1),Q(x2,y2),且y1y2=k2x1x2,求直线L的斜率k;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求△OPQ面积的最大值.

【答案】(I)(Ⅱ)斜率为或﹣(Ⅲ)1.

【解析】试题分析:(1)由椭圆的焦距为,且椭圆C过点A1 ),列出方程求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.

(2)由,得: (1+4k2x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出直线l的斜率.

(3)把直线方程与椭圆方程联立,得: x2+2mx+2m2﹣2=0,,由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能求出OPQ 面积的最大值.

试题解析:

(Ⅰ)∵椭圆C: 的焦距为,且椭圆C过点

∴由题意得,可设椭圆方程为

,得

所以椭圆C的方程为

(Ⅱ)由消去y得:(1+4k2x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,

=64k2m2﹣16(1+4k2)(m2﹣1)=16(4k2m2+1)>0,

.

又∵,∴,∴

m≠0,∴,解得

∴直线L的斜率为或﹣

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知直线L的方程为

由对称性,不妨把直线方程与椭圆方程联立,消去y得:2x2+4mx+4m2﹣4=0,△=64m2﹣4(4m2﹣4)>0,∵Px1y1),Qx2y2),∴x1+x2=﹣2m

d为点O到直线l的距离,则

当且仅当m2=1时,等号成立.∴△OPQ面积的最大值为1.

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