题目内容
5.如果函数y=f(x)(x∈D)满足:(1)f(x)在D上是单调函数;
(2)存在闭区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]的值域也是[a,b],那么就称函数y=f(x)为闭函数,试判断函数y=x2+2x,x∈[-1,+∞)是否为闭函数,如果是闭函数,那么求出符合条件的区间[a,b],如果不是闭函数,请说明理由.
分析 根据一元二次函数的单调性,结合闭函数的性质建立方程组进行求解即可.
解答 解:y=x2+2x的对称轴为x=-1,则x∈[-1,+∞)上函数为增函数,
若函数为闭函数,
则满足$\left\{\begin{array}{l}{f(a)=a}\\{f(b)=b}\end{array}\right.$,
即a,b是方程f(x)=x的两个不同的根,
由y=x2+2x=x得x2+x=0,解得x=0或x=-1,
即a=-1,b=0,
则符合条件的闭区间为[-1,0].
点评 本题考查了新定义型函数的理解和运用能力,函数单调性的应用,利用一元二次函数的性质是解决本题的关键.
练习册系列答案
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A. | 100 | B. | 90 | C. | 120 | D. | 30 |