Question

15．（1）已知f（$\frac{2}{x}$+1）=2x+1，求数f（x）的解析式．
 （2）已知函数f（x）满足关系式2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{2}{x}$+1=t，则x=$\frac{2}{t-1}$，换元法可得；
（2）由2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x可得2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{3}{x}$，联立消去f（$\frac{1}{x}$）可得．

解答 解：（1）令$\frac{2}{x}$+1=t，则x=$\frac{2}{t-1}$，
换元可得f（t）=2•$\frac{2}{t-1}$+1=$\frac{4}{t-1}$+1，
∴f（x）=$\frac{4}{x-1}$+1，（x≠1），
∴函数f（x）的解析式为f（x）=$\frac{4}{x-1}$+1，（x≠1）；
（2）∵2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x，
∴2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{3}{x}$，
联立消去f（$\frac{1}{x}$）可得f（x）=2x-$\frac{1}{x}$，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2x-$\frac{1}{x}$．

点评 本题考查函数解析式求解的换元法和方程组的方法，属中档题．