题目内容
【题目】已知向量,
,函数
的最小值为
(1)当时,求
的值;
(2)求;
(3)已知函数为定义在R上的增函数,且对任意的
都满足
问:是否存在这样的实数m,使不等式
+
对所有
恒成立,若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析
【解析】
(1)把,代入相应的向量坐标表示式,然后,利用向量数量积的坐标表示,化简函数解析式即可;
(2)转化成二次函数问题,对对称轴的位置与区间 进行讨论;
(3)利用函数为定义在R上的函数,得到
,然后,再根据函数的单调性,转化成,最后,利用换元法
,转化成
,求解函数
在
上的最大值为3,从而解决问题.
(1)令
,
,则
当时,
(2),
(3)易证为
上的奇函数
要使成立,
只须
,
又由为单调增函数有
,
令,则
,
原命题等价于对
恒成立;
,即
.
由双勾函数知在
上为减函数,
时,原命题成立
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