Question

【题目】已知圆经过点A（－2，0），B（0，2），且圆心在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆相交于P、Q两点．

（1）求圆的方程；

（2）若，求实数k的值；

（3）过点作动直线交圆于，两点．试问：在以为直径的所有圆中，是否存在这样的圆，使得圆经过点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在圆或，使得圆经过点．

【解析】

试题分析：（1）根据题意设出圆心和半径，列出和的方程，求得圆的方程；（2）根据,

求得，所以圆心到直线的距离为，求得的值；（3）若圆经过点，则必有即①，当直线的斜率不存在时，显然满足题意得圆，当直线的斜率存在时，设其斜率为，直线的方程为：，代入圆的方程，由韦达定理，得到的值，联立①解得的值，存在所求的圆，进而得到所求的圆的方程.

试题解析：（1）设圆心C（a，a），半径为r.因为圆C经过点A（－2,0），B（0,2），所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是. 3分

（2）因为·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且与的夹角为∠POQ，

所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，

又d＝，所以. 7分

（联立直线与圆的方程求解酌情给分）

（3）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，此时直线与圆的交点为，，即为圆的直径，而点在圆上，即圆也是满足题意的圆 8分

（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，由，

消去整理，得，由△，得或．

设，则有① 9分

由①得， ②

， ③

若存在以为直径的圆经过点，则，所以，

因此，即， 10分

则，所以，，满足题意． 12分

此时以为直径的圆的方程为，

即，亦即． 13分

综上，在以为直径的所有圆中，存在圆：或

，使得圆经过点． 14分