Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得 ；令f'（x）＜0，解得 ．
从而f（x）在 单调递减，在 单调递增．
所以，当 时，f（x）取得最小值 ．
（Ⅱ）依题意，得f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立，
即不等式 对于x∈[1，+∞）恒成立．
令 ，
则 ．
当x＞1时，
因为 ，
故g（x）是[1，+∞）上的增函数，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
从而a的取值范围是（﹣∞，1]
【解析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．（Ⅱ）将f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立转化为不等式 对于x∈[1，+∞）恒成立，然后令 ，对函数g（x）进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值，使得a小于等于这个最小值即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．