题目内容
已知函数
，
为自然对数的底数）.
(Ⅰ)当
时,求
的单调区间；
(Ⅱ)若函数在
上无零点,求
最小值；
(Ⅲ)若对任意给定的
,在
上总存在两个不同的
),使
成立,求的取值范围.
(Ⅰ) 的单调递减区间为
，单调递增区间为
；(Ⅱ) 
；(Ⅲ) 
.
解析试题分析：(Ⅰ)将
代入，对求导，令
和
分别求出函数的单调递增区间和单调递减区间；(Ⅱ)通过分析已知先得到“对
，
恒成立”，下面求
在上的最大值，所以
，解出的最小值；(Ⅲ)先对
求导，判断出上的单调性，并求出的值域，再对求导，确定单调性，画出简图，因为，得到
，通过验证（2）是恒成立的，所以只需满足（3）即可，所以解出的取值范围.
试题解析：(Ⅰ)当时,
(
)，则
. 1分
由得
；由得
. 3分
故的单调递减区间为，单调递增区间为. 4分
(Ⅱ)因为
在区间上恒成立是不可能的, 5分
故要使函数在上无零点,只要对任意,
恒成立.
即对，恒成立. 6分
令，，则
，
再令
，，则
.
故
在为减函数，于是
，
从而
，于是
在上为增函数，
所以
， 8分
故要使恒成立，只要
.
综上可知，若函数在上无零点，则的最小值为. 9分
(Ⅲ)
，所以在
上递增，在
上递减.
又
，
，
所以函数在
上的值域为
. &
练习册系列答案
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是定义在
上的奇函数,在
上
.
．
（
，
，
且
）的图象在
处的切线与
轴平行.
的正、负号；
在区间
上有最大值为
，求
在
处取得极值。
；
，使得对任意
？若存在，求
．
的单调递增区间；
在
上只有一个零点，求实数
的取值范围．
（
为常数） 
的单调区间；
时，
，求
，
，
（1）若
，求函数
的极值；
在
上单调递减，求实数
的取值范围；
的图象上是否存在不同的两点
，使线段
的中点的横坐标
与直线
之间满足
？若存在，求出
.
在
处的切线方程为
，求实数
的值.
时，不等式
恒成立，求实数
，求函数
的极小值；
，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量
使得
的值相等，若存在，请求出
的范围，若不存在，请说明理由？