题目内容
已知函数
(Ⅰ)若,求函数的极小值;
(Ⅱ)设函数,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等,若存在,请求出的范围,若不存在,请说明理由?
(1)
(2)至多只有一个解,故不存在
解析试题分析:解:(I)由已知得, 2分
则当时,可得函数在上是减函数,
当时,可得函数在上是增函数, 5分
故函数的极小值为 6分
(II)若存在,设,则对于某一实数方程
在上有三个不等的实根, 8分
设,
则有两个不同的零点. 10分
方法一:有两个不同的解,设,
则,
设,则,故在上单调递增,
则当时,即, 12分
又,则故在上是增函数, 13分
则至多只有一个解,故不存在. 14分
方法二:关于方程的解,
当时,由方法一知,则此方程无解, 11分
当时,可以证明是增函数,则此方程至多只有一个解,
故不存在. 14分
考点:导数的运用
点评:主要是考查了导数在研究函数单调性中的运用,以及方程根的问题的运用,属于中档题。
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