题目内容

为了加快经济的发展,某省选择两城市作为龙头带动周边城市的发展,决定在两城市的周边修建城际轻轨,假设为一个单位距离,两城市相距个单位距离,设城际轻轨所在的曲线为,使轻轨上的点到两城市的距离之和为个单位距离,

(1)建立如图的直角坐标系,求城际轻轨所在曲线的方程;
(2)若要在曲线上建一个加油站与一个收费站,使三点在一条直线上,并且个单位距离,求之间的距离有多少个单位距离?
(3)在两城市之间有一条与所在直线成的笔直公路,直线与曲线交于两点,求四边形的面积的最大值.
(1)(2)8(3)
(1)根据题目条件选取适当的坐标系,本小题应该以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,这样得到的轨迹方程是标准方程,有利于下一步的计算.
(2)由椭圆的定义可知|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20,|AM|+|AN|=12,所以|MN|=8.
(3)先求出四边形的面积的表达式,设直线方程为y=x+t,然后与椭圆方程联立,消x后得到关于y的一元二次方程,借助韦达定理,根据,
求出面积关于t的函数表达式,利用函数的方法求最值即可.
解:(1)以AB为x轴,以AB中点为原点O建立直角坐标系,设曲线E上点
∵|PA|+|PB|=10>|AB|=8
∴动点轨迹为椭圆,且a=5,c=4,从面b=3.
∴曲线E的方程为                                                     4分
(2)由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20,|AM|+|AN|=12,所以|MN|=8                         8分
(3)将代入,得



所以当t=0时,面积最大是,此时直线为l:y=x  13分
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