题目内容
【题目】设点O为坐标原点，椭圆E： 
（a≥b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为 
的直线与直线AB相交M，且 
．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；
（Ⅱ）PQ是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．
【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆E： 
（a≥b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，
∴A（a，0），B（0，b）， 
，∴M（ 
， 
）．
∴ 
，解得a=2b，
∴ 
，
∴椭圆E的离心率e为 
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴椭圆E的方程为 
，即x2+4y2=4b2（1）
依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且 
．
由对称性可知，PQ与x轴不垂直，
设其直线方程为y=k（x﹣2）+1，代入（1）得：
（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则 
， 
，
由 
得 
，解得 
．
从而x1x2=8﹣2b2．
∴ 
．
解得：b2=4，a2=16，∴椭圆E的方程为 
．
【解析】（Ⅰ）推导出A（a，0），B（0，b），M（ ， ），从而 ，进而a=2b，由此能求出椭圆E的离心率．（Ⅱ）设椭圆E的方程为 ，设直线PQ的方程为y=k（x﹣2）+1，与椭圆联立得（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．
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