Question

15．已知圆C：x²+y²-10x-10y=0和直线l：3x+4y=15，求：
（1）过圆C的圆心且与l平行的直线方程；
（2）求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）圆的方程化为标准方程，确定圆心，即可过圆C的圆心且与l平行的直线方程；
（2）求出圆心到直线l：3x+4y=15的距离，利用勾股定理求直线l被圆C截得的弦长．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-10x-10y=0，可化为圆C：（x-5）²+（y-5）²=50，圆心为（5，5），半径为5$\sqrt{2}$
过圆C的圆心且与l平行的直线方程为3x+4y+c=0，
（5，5）代入可得c=-35，∴过圆C的圆心且与l平行的直线方程为3x+4y-35=0；
（2）圆心到直线l：3x+4y=15的距离d=$\frac{|15+20-15|}{5}$=4，
∴直线l被圆C截得的弦长l=2$\sqrt{50-16}$=2$\sqrt{34}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．