Question

4．如图所示，在平面四边形ABCD中，$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{AB}=0，|{\overrightarrow{EC}}|=\sqrt{7}，|{\overrightarrow{AD}}|=3，\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{ED}$，$\overrightarrow{DA}$与$\overrightarrow{DC}$的夹角为$\frac{2}{3}π$，$\overrightarrow{EC}$与$\overrightarrow{EB}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
（1）求△CDE的面积S；
（2）求$|{\overrightarrow{BE}}|$．

Answer 1

分析 （1）由题意可得DA⊥AB，DE=1，EC=$\sqrt{7}$，EA=2，∠ADC=$\frac{2π}{3}$，∠BEC=$\frac{π}{3}$．设∠CED=α．运用余弦定理和正弦定理，再由面积公式，即可得到所求S；
（2）求得cosα，以及cos∠AEB=cos（$\frac{2π}{3}$-α），再由解直角三角形，即可得到所求．

解答 解：由题意可知：DA⊥AB，DE=1，EC=$\sqrt{7}$，EA=2，
∠ADC=$\frac{2π}{3}$，∠BEC=$\frac{π}{3}$．
设∠CED=α．
（1）在△CDE中，由余弦定理，得
EC²=CD²+DE²-2CD•DE•cos∠EDC，
于是由题设知，7=CD²+1+CD，即CD²+CD-6=0，
解得CD=2（CD=-3舍去）．
在△CDE中，由正弦定理，得$\frac{EC}{sin∠EDC}=\frac{CD}{sinα}$，
于是，sinα=$\frac{CD•sin∠EDC}{EC}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
即sin∠CED=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
于是，$S=\frac{1}{2}DE•EC•sinα=\frac{1}{2}×\sqrt{7}×\frac{{\sqrt{21}}}{7}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
（2）由题设知，0＜α＜$\frac{π}{3}$，于是由（1）知，
cosα=$\sqrt{1-{{sin}^2}α}$=$\sqrt{1-\frac{21}{49}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
而∠AEB=$\frac{2π}{3}$-α，
所以cos∠AEB=cos（$\frac{2π}{3}$-α）=cos$\frac{2π}{3}$cosα+sin$\frac{2π}{3}$sinα
=-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα
=-$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
在Rt△EAB中，cos∠AEB=$\frac{EA}{BE}$=$\frac{2}{BE}$，
故$|{\overrightarrow{BE}}|$=BE=$\frac{2}{cos∠AEB}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{7}}{14}}$=4$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，同时考查向量垂直的条件，同角公式和两角差的余弦公式，属于中档题．