Question

【题目】已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球的面上，且PA⊥平面ABC，若球O的体积为 （球的体积公式为 R3 ， 其中R为球的半径），AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：如图所示，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则BC2=22+12﹣2×1×2×cos60°=3， 解得BC= ，∴ ．
∴∠ACB=90°．
取AB的中点D，则球心O满足OD⊥平面ABC．
又PA⊥平面ABC，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O为PB的中点．
∴OD= PA．
由球的体积计算公式可得： R3= ，解得R= ．
∴OD= =2．
∴PA=4
∴三棱锥P﹣ABC的体积V= PA= = ．
故选：B．