题目内容
设f(x)=-
x3+
x2+2ax.
(1)若f(x)在(
,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.
(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-
,求f(x)在该区间上的最大值.
x3+x2+2ax.(1)若f(x)在(
,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-
,求f(x)在该区间上的最大值.(1) a>-
(2) f(x)max=
(2) f(x)max=(1)f(x)=-x3+x2+2ax,
∴f'(x)=-x2+x+2a,当x∈[,+∞)时,f'(x)的最大值为f'()=
+2a.
函数f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,即导函数在(,+∞)上存在函数值大于零成立,
∴+2a>0
a>-.
(2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-,而f'(x)=-x2+x+2a的图象开口向下,且对称轴为x=,
∴f'(1)=-1+1+2a=2a>0,
f'(4)=-16+4+2a=2a-12<0,
则必有一点x0∈[1,4]使得f'(x0)=0,此时函数f(x)在[1,x0]上单调递增,在[x0,4]上单调递减,
f(1)=-++2a=
+2a>0,
∴f(4)=-×64+×16+8a=-
+8a,
∴-+8a=-,得a=1,
此时,由f'(x0)=-
+x0+2=0得x0=2或-1(舍去),
所以函数f(x)max=f(2)=.
x3+x2+2ax,∴f'(x)=-x2+x+2a,当x∈[
,+∞)时,f'(x)的最大值为f'()=+2a.函数f(x)在(
,+∞)上存在单调递增区间,即导函数在(,+∞)上存在函数值大于零成立,∴
+2a>0a>-.(2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-
,而f'(x)=-x2+x+2a的图象开口向下,且对称轴为x=,∴f'(1)=-1+1+2a=2a>0,
f'(4)=-16+4+2a=2a-12<0,
则必有一点x0∈[1,4]使得f'(x0)=0,此时函数f(x)在[1,x0]上单调递增,在[x0,4]上单调递减,
f(1)=-
++2a=+2a>0,∴f(4)=-
×64+×16+8a=-+8a,∴-
+8a=-,得a=1,此时,由f'(x0)=-
+x0+2=0得x0=2或-1(舍去),所以函数f(x)max=f(2)=
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练习册系列答案
相关题目
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在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
若P是曲线y＝F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y＝F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．
在
，
点处取到极值，其中
上，则曲线
的切线的斜率的最大值是（ ）
