题目内容
已知函数f(x)=-x3+x2,g(x)=aln x,a∈R.
(1)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求a的取值范围;
(2)设F(x)=若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点,在曲线y=F(x)上总存在另一点Q,使得△POQ中的∠POQ为钝角,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.
(1)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求a的取值范围;
(2)设F(x)=若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点,在曲线y=F(x)上总存在另一点Q,使得△POQ中的∠POQ为钝角,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.
(1)(-∞,-1](2)(-∞,0]
(1)由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x..
由于x∈[1,e],ln x≤1≤x,且等号不能同时取得,所以ln x<x,x-ln x>0.
从而a≤恒成立,a≤min.(4分)
设t(x)=,x∈[1,e].求导,得t′(x)=.(6分)
x∈[1,e],x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,从而t′(x)≥0,t(x)在[1,e]上为增函数.
所以t(x)min=t(1)=-1,所以a的取值范围是(-∞,-1].(8分)
(2)F(x)=
设P(t,F(t))为曲线y=F(x)上的任意一点.
假设曲线y=F(x)上存在一点Q(-t,F(-t)),使∠POQ为钝角,
则<0.(10分)
①若t≤-1,P(t,-t3+t2),Q(-t,aln(-t)),=-t2+aln(-t)·(-t3+t2).
由于<0恒成立,a(1-t)ln(-t)<1.
当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1恒成立.
当t<-1时,a<恒成立.由于>0,所以a≤0.(12分)
②若-1<t<1,且t≠0,P(t,-t3+t2),Q(-t,t3+t2),则=-t2+(-t3+t2)·(t3+t2)<0,
即t4-t2+1>0对-1<t<1,且t≠0恒成立.(14分)
③当t≥1时,同①可得a≤0.
综上所述,a的取值范围是(-∞,0].(16分)
由于x∈[1,e],ln x≤1≤x,且等号不能同时取得,所以ln x<x,x-ln x>0.
从而a≤恒成立,a≤min.(4分)
设t(x)=,x∈[1,e].求导,得t′(x)=.(6分)
x∈[1,e],x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,从而t′(x)≥0,t(x)在[1,e]上为增函数.
所以t(x)min=t(1)=-1,所以a的取值范围是(-∞,-1].(8分)
(2)F(x)=
设P(t,F(t))为曲线y=F(x)上的任意一点.
假设曲线y=F(x)上存在一点Q(-t,F(-t)),使∠POQ为钝角,
则<0.(10分)
①若t≤-1,P(t,-t3+t2),Q(-t,aln(-t)),=-t2+aln(-t)·(-t3+t2).
由于<0恒成立,a(1-t)ln(-t)<1.
当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1恒成立.
当t<-1时,a<恒成立.由于>0,所以a≤0.(12分)
②若-1<t<1,且t≠0,P(t,-t3+t2),Q(-t,t3+t2),则=-t2+(-t3+t2)·(t3+t2)<0,
即t4-t2+1>0对-1<t<1,且t≠0恒成立.(14分)
③当t≥1时,同①可得a≤0.
综上所述,a的取值范围是(-∞,0].(16分)
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