Question

已知抛物线C的方程为，焦点为F，有一定点，A在抛物线准线上的射影为H，P为抛物线上一动点.
（1）当|AP|+|PF|取最小值时，求；
（2）如果一椭圆E以O、F为焦点，且过点A，求椭圆E的方程及右准线方程；
（3）设是过点A且垂直于x轴的直线，是否存在直线，使得与抛物线C交于两个
不同的点M、N，且MN恰被平分？若存在，求出的倾斜角的范围；若不存在，请
说明理由.

Answer 1

解：（1）由定义知，当P为AH与抛物线的交点时，|PF|=|PH|
此时|AP|+|PF|=|AH|取得最小值4………………4分
得………………6分
（2）由（1）知，椭圆E的焦点为O（0，0），F（2，0）
故中心为（1，0）.

所求椭圆方程为………………8分
右准线方程为………………10分
（3）由条件知，过A且与x轴垂直的直线
设满足条件的直线存在，并设其方程为
代入………………①
与C交于不同的两点M、N，故方程①的
………………12分
设

故直线存在，其倾斜角的取值范围为…………14分

略